2020-06-13 14:26

令人惊叹的混沌理论

在20世纪60年代早期,气象学家爱德华·洛伦兹发现某些系统本质上是不可预测的。他的理论引发了一场名为“混沌理论”的科学革命。有人说,简单的规则有时会产生奇异的复杂性。那些复杂的结构通常来源于最基本的变换。这种现象和理论在实践中经常被提及,但也出现在《怪奇物语》等电子游戏和《侏罗纪公园》等电影中。

那么,混沌理论的实际定义是什么呢?它与数学有什么联系?它与可预测性和决定论有什么关系?如何将它应用于一般情况?

因此,混沌理论是研究和描述动态系统的数学,它解释了系统随时间变化的过程。科学家和数学家对混沌有不同的看法。对他们来说,一个混沌的世界是不可预测的,一个微小的偏差可能导致不可想象的后果。

爱德华·洛伦茨是美国数学家、气象学家、麻省理工学院气象学教授。他的职业生涯始于第二次世界大战期间,当时他是美国陆军航空队的一名气象预报员。在一次天气预报的尝试中,他在他的计算机模型上得到了一个非常不同的结果,原因是一个参数出现了微小的偏差。

爱德华证明了可预测性的局限性,这让许多科学家和气象学家感到震惊,因为他们认为,只要计算机足够强大,就能预测未来很多天的天气。

混沌理论阐述了变化过程的进展和演变,用微分方程来描述。以前是无法计算出精确的解的,但现在可以用计算机进行数值计算。混沌系统的预测对初始状态下不可避免的小误差非常敏感。这决定了可预测性是有限度的。

在抛物线y_1=x^2-1上取一个点,然后过这个点画一条水平线与y = x相交,交点的横坐标为新的x的值,记为x_1;然后把x_1代入抛物线。

一个吸引子由起始值和结束值组成。初始值被最终值所“吸引”。当迭代一个函数时,通过执行迭代可以合理地猜测吸引子,直到只有有限个相同的x值出现。

决定论是一个源于科学和物理的哲学概念。它的追随者相信秩序,他们认为宇宙中的一切都可以在物理定律的帮助下被预测。为了解释这一点,可以提出一种带有大量齿轮的计时器。每一个齿轮都像一个定律,如果知道所有初始条件,一切都是可以预测的。每个原因都有一个结果,反之亦然。

决定论和可预测性紧密相连,因为许多科学模型都是完全确定的。这意味着,如果现实可以在一段时间内被描述,那么未来就可以被预测。例如,太阳今天落山,明天再次升起,或者日食发生的日期和地点,以及可以观测到日食的时间。混沌理论是一个颠覆了决定论的革命性观点,因为有些确定性系统的行为并不遵循线性动态。

分形是可视化地表示迭代过程的图形,并导致自我一致性。随着迭代过程的无限重复,出现了一个无论在什么尺度上都显示相同结构的图。尽管关于分形和确定性混沌的研究最初有不同的推动力,但它们之间的联系越来越紧密,因为迭代在分形和确定性混沌中都是基本的。

一个著名的分形例子是科赫曲线(或科赫雪花)。在每次迭代中,在每条边都会放置一个小三角形,但是旋转了60度。如果这个过程无限地进行,就会产生一个面积有限但边长无限的图形。

混沌理论中最著名的例子是蝴蝶效应。蝴蝶效应指出,初始状态的微小偏差在混沌系统中可以产生巨大且不可预测的影响。例如,在巴西,一只蝴蝶的一次翅膀扇动就能在德克萨斯州引发一场飓风,这仅仅是因为一股微小的气流。这个例子象征着混沌理论。

计算机可以计算出白球的未来轨迹(尽管程序必须非常精确地知道桌子上所有球的位置)。假设稍微移动其中一个有色球,白球就会走不同的路线。一个无法估量的微小差异最终可能产生重大的差异。

一个不太为人所知的例子是生态系统。生态系统是自然环境的一部分。生物方面(如动物和植物)和非生物方面(如空气、水和土壤)确保循环是连续的。有机体生存条件的一个小变化可能会对整个生态系统产生重大的、往往是灾难性的后果。因此,生态系统也是一种非常复杂的现象。

天气是混沌理论的一个著名例子。这个想法从爱德华·洛伦兹用气象模型进行计算以来就一直存在。同一个计算运行两次后,会得到差异较大的两种结果。

如前所述,要知道系统的未来状态,对所有的初始条件都要求无限精确。如果气象学家想做精确的天气预报,那么大气中所有数据都必须是清楚的。当然,这是不可能的。

混沌理论是一个非常令人困惑的话题,比我们想象的要现实得多。这不仅仅是电子游戏和电影中出现的现象。混沌系统无处不在。认识到这一点有助于科学家和数学家更好地开发他们的系统和程序。因此,混沌理论也指出了我们生活中的小决定是如何产生一系列重大的不同结果的。考虑到这一点,我们都可以做出更好的决定。